Der Parkpfleger, die Algen und das exponentielle Wachstum

Wenn das deutsche Demokratieabgabe-Fernsehen und seine Freunde nicht gerade damit beschäftigt sind, rassistische Afrikafilmchen zu drehen, behinderte Oppositionelle zu verhöhnen, via Gericht verbieten zu lassen, dass ihre Tätigkeit „echte Fake News“ genannt wird (sonst Ordnungsgeld von bis zu 250.000 Euro), oder gleich alle privaten Medien zu verhöhnen („Natürlich haben wir mehr Geld als Ihr.“), sind deren Leute scheinbar vor allem damit zugange, einander Orden für Weißderhimmelwas zu verleihen – und so stellt sich die Frage: Wer kümmert sich um den Bildungsauftrag?

Antwort: Es bleibt an uns, den Bloggern, jenseits von Clickbait und staatstragender Haltungspropaganda etwas Information in die Debatte zu bringen. Freie Blogger haben keine Politiker im Verwaltungsrat, dafür bieten sie in Sachen formale Bildung und Weltkenntnis oft eine spannendere Alternative zu den Kindergarten-Germanistik-Volontariat-Karrieren der Berliner Mediensoße. Ich denke spontan etwa an die Wissenschaftler bei Sciencefiles – und es gibt viele weitere lesenswerte freie Denker!

Denktonleitern

Ganz im Geiste des neuen Bildungsauftrags erlaube ich mir, mit Ihnen gemeinsam eine der wichtigsten Formelarten der Welt durchzugehen.

Ein Klavierspieler, der gut werden und gut bleiben will, betreibt seine Fingerübungen, nicht nur einmal-und–nie–wieder, nein, er übt jeden Tag. (Ich übte übrigens selbst als Kind aus „dem Hanon“ – und just in diesen Morgenstunden, während ich diesen Text baue, höre ich aus dem Erdgeschoss, wie meine Tochter vor der Schule noch schnell den Hanon am Klavier runterklimpert – hach, circle of life!) – Selbst wenn wir schon von der Bedeutung exponentiellen Wachstums gehört haben, ist es eine wichtige Übung, sich die mathematischen Mechanismen wieder und wieder bewusst zu machen.

Algenmathematik

Ich schreibe heute über exponentielles Wachstum – und dann über einen wichtigen Nebenaspekt davon.

Nehmen wir an, auf einem See wachsen Algen. Die Algen verdoppeln sich jeden Tag und damit verdoppelt sich die von den Algen bedeckte Fläche. Wenn der See zu 100% bedeckt ist, „kippt“ er. Die Seeoberfläche sei, der Einfachheit halber, genau 1024 Quadratmeter groß. (Einige kennen dieses Denk-Beispiel übrigens auch mit Wasserlilien.)

Nehmen wir weiter an, dass am Tag 1 genau 1 Quadratmeter des Sees von Algen bedeckt ist.

Am Tag 2 sind dann genau 2 Quadratmeter bedeckt – es verdoppelt sich ja.

Uns Menschen fehlt der Sinn fürs Exponentielle. Unsere eigenen Worte verführen uns – selbst wenn sie gar nicht verführerisch gemeint waren.

Versuchen wir doch einmal, uns selbst die folgende Frage vorzulesen, und zu hören, was unser Bauchgefühl antworten will:

Die Algenfläche verdoppelt sich jeden Tag. Am Tag 1 ist es 1 Quadratmeter, am Tag 2 sind es 2 Quadratmeter, und so weiter. Wie viele Tage dauert es, bis 100 Quadratmeter bedeckt sind?

Wenn wir nicht die entscheidende Sekunde lang nachdenken, antworten wir: 100 Tage!

Da wir jetzt und hier sehr bewusst über diese Frage grübeln, ist hier – und nur hier – praktisch sicher, dass Ihr Bauchgefühl von Ihrem Verstand korrigiert wird. Im Alltag begegnen uns allerdings exponentielle Fragestellungen, ohne „exponentiell“ auszusehen. Im Alltag hätten wir wohl am zweiten Tag gesagt: „Ach, es ist nur 1 Quadratmeter dazugekommen, wir haben viele, viele Tage Zeit!“

Rechnen wir es einmal aus!

Tag vs. Quadratmeter

Tag 1: 1qm

Tag 2: 2qm

Tag 3: 4qm

Tag 4: 8qm

Tag 5: 16qm

Tag 6: 32qm

Tag 7: 64qm

Tag 8: 128qm

Tag 9: 256qm

Tag 10: 512qm

Tag 11: 1024qm

Am elften Tag ist der See, den wir mit 1024qm Gesamtgröße angegeben hatten, vollständig bedeckt. Man bedenke dabei, dass wir mit 1qm nur von knapp 1 Promille ausgegangen sind. Wenn wir Prozent statt Quadratmeter annehmen, kippt der See bereits zwischen den Tagen 7 und 8!

Unsere Intuition hinsichtlich exponentiellen Wachstums versagt oft sogar dann, wenn wir wissen, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt – wie hilflos sind wir erst, wenn das exponentielle Wachstum versteckt daherkommt.

Das ist eine erschreckende Erkenntnis – doch es kommt ein weiterer, so wichtiger wie erschreckender Aspekt hinzu, nämlich die Frage, bis wann man Zeit hat, eine exponentielle Entwicklung aufzuhalten.

Intuitionsquäler

Nehmen wir an, ein Parkpfleger wollte den See retten, doch bräuchte 3 Tage für die Vorbereitung, bis er die Ausbreitung der Algen stoppen kann, und bis dahin wachsen die Algen ungebremst weiter. Bei welcher Quadratmeterzahl hätte er noch eine Chance und wann käme er zu spät?

Die Antwort ist: Der Parkpfleger müsste seine Arbeit bei spätestens 64qm beginnen, also bei 6,25%. Dann wären nach 1 Tag die Algen noch bei 128qm, nach 2 Tagen bei 256qm, nach 3 Tagen dann schließlich bei 512qm. Im Moment des Erfolgs wäre der See also halb bedeckt, aber immerhin gerettet – einen Tag später wäre er verloren.

Würde der Parkpfleger seine Maßnahmen erst bei 12,5% beginnen, also bei 128qm bedeckter Seefläche, hätte er schon keine Chance mehr. Er müsste entweder ganz andere Mittel wählen, die schneller greifen als erst in 3 Tagen – oder er müsste den See aufgeben. Nochmal: Die letzte Chance hatte der See bei 6,25% – das ist nicht, was unsere Intuition hergibt, selbst wenn wir alle Fakten und Zahlen kennen.

Weiterlernen

Im Internet finden wir ein zu Recht populäres Video eines Vortrags von Albert A. Bartlett (1923 – 2013). Manchmal trägt dieser englischsprachige Vortrag den schlichten Titel „Arithmetik, Population and Energy“, manchmal aber auch „The Most Important Talk You Will Ever See“ (übersetzt: Der wichtigste Vortrag, den Sie je hören werden).

Bartlett steigt mit einem mächtigen Satz ein:

The Greatest Shortcoming of the Human Race is our Inability to Understand The Exponential Function
– Einblendung während des Vortrags von A. Bartlett

Übersetzt: Die größte Unzulänglichkeit der Menschheit ist unsere Unfähigkeit, die exponentielle Funktion zu verstehen

Bartlett spricht über exponentielles Wachstum und seinen Einfluss auf unsere Zukunft. Es ist ein über eine Stunde langer Vortrag und es ist auf Englisch, doch anschließend ist man schlauer – etwas, das Sie kaum nach einem ARD-ZDF-TV-Abend sagen können.

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